Kecepatan sudut suatu partikel

Kecepatan sudut suatu partikel

Dimensi dua

Kecepatan sudut suatu partikel pada P relatif terhadap titik asal O ditentukan oleh komponen tangensial dan normal vektor kecepatan v.

Kecepatan sudut suatu partikel di dalam bidang dua dimensi adalah yang paling mudah dipahami. Seperti yang ditunjukkan pada gambar di kanan (biasanya menyatakan ukuran sudut φ dan θ di dalam radian), jika garis dilukiskan dari titik asal (O) ke partikel yang dimaksud (P), maka vektor kecepatan (v) partikel akan memiliki komponen sepanjang jari-jari (komponen jari-jari, v_∥) dan komponen yang tegak lurus dengan jari-jari (komponen silang jari-jari, v). Tetapi, harus diingat bahwa vektor kecepatan dapat juga diuraikan menjadi komponen tangensial dan normal.

Gerak radial (gerak memancar) tidak menghasilkan perubahan jarak partikel terhadap titik asal; sehingga untuk menentukan kecepatan sudut, komponen sejajar (radial) dapat diabaikan. Oleh karena itu, rotasi sepenuhnya dihasilkan oleh gerak tangensial (seperti yang terjadi pada partikel yang bergerak pada lingkaran), dan kecepatan sudut sepenuhnya ditentukan oleh komponen tegak lurus (tangensial).

Dapat dilihat bahwa laju perubahan kedudukan sudut suatu partikel adalah berhubungan dengan kecepatan silang jari-jari berdasarkan:^[1]

Dengan memanfaatkan θ, sudut antar-vektor v_∥ dan v, atau setara dengan sudut antar-vektor r dan v, menghasilkan:

Dengan memadukan kedua-dua persamaan di atas dan dengan mendefinisikan kecepatan sudut sebagai ω=dΦ/dt, diperoleh:

Di dalam dimensi dua kecepatan sudut hanyalah nilai atau bilangan yang tak-berarah. Bilangan yang tak-berarah adalah skalar atau skalar semu, perbedaannya adalah skalar tidak mengubah tanda sumbu x dan y (atau dibalik), sedangkan skalar semu mengubah. Sudut sebagaimana halnya kecepatan sudut adalah contoh skalar semu. Arah positif rotasi diambil, berdasarkan perjanjian, sebagai arah menuju sumbu y dari sumbu x. Jika sumbu-sumbu itu dipertukarkan, tetapi rotasi tidak dibalik, maka tanda sudut rotasi, dan oleh karenanya pula kecepatan sudut akan berubah.

Adalah penting untuk mengetahui bahwa kecepatan sudut skalar semu suatu partikel bergantung kepada pilihan titik asalnya.

Dimensi tiga

Di dalam dimensi tiga, kecepatan sudut menjadi lebih kompleks. Di dalam kasus ini, kecepatan sudut umumnya dipikirkan sebagai vektor, atau lebih tepatnya vektor semu. Kini kecepatan sudut tidak hanya memiliki besaran, tetapi juga arah. Besarannya adalah frekuensi sudut, dan arahnya menjelaskan sumbu rotasi. Kaidah tangan kanan menunjukkan bahwa arah positif vektor semu kecepatan sudut adalah:

Jika empat jari tangan kanan (selain jempol) digenggamkan menurut arah rotasi, maka arah vektor kecepatan sudut ditunjukkan oleh jempol tangan kanan.

Seperti pada kasus dua dimensi, suatu partikel akan memiliki komponen kecepatannya sepanjang jari-jari dari titik asalnya terhadap partikel, dan komponen lain yang tegak lurus terhadap jari-jarinya. Paduan titik asal dan komponen tegak lurus kecepatan mendefinisikan bidang rotasi di mana perilaku partikel (pada saat itu) tampak seperti kasus dua dimensi. Sumbu rotasi yang tegak lurus dengan bidang ini, dan sumbu ini mendefinisikan arah vektor semu kecepatan sudut, sedangkan besarannya sama dengan nilai vektor semu yang dijumpai pada kasus dua dimensi. Dimisalkan  adalah vektor satuan yang bergerak pada arah vektor semu kecepatan sudut. Kecepatan sudut dapat ditulis dengan cara yang sama dengan yang biasa dilakukan pada dimensi dua:

yang menurut definisi perkalian silang, dapat dituliskan sebagai: