link

Tuesday, July 9, 2013

Energi medan listrik


Energi medan listrik

Medan listrik menyimpan energi. Rapat energi suatu medan listrik diberikan oleh [6]

 u = \frac{1}{2} \epsilon |E|^2
dengan
 \epsilon \! adalah permittivitas medium di mana medan listrik terdapat, dalam vakum  \epsilon = \epsilon_0 \!.
E  \! adalah vektor medan listrik.
Total energi yang tersimpan pada medan listrik dalam suatu volum V\! adalah
 \int_{V} \frac{1}{2} \epsilon |E|^2 \, d\tau
dengan
 d\tau \! adalah elemen diferensial volum.

Distribusi muatan listrik

Medan listrik tidak perlu hanya ditimbulkan oleh satu muatan listrik, melainkan dapat pula ditimbulkan oleh lebih dari satu muatan listrik, bahkan oleh distribusi muatan listrik baik yang diskrit maupun kontinu. Contoh-contoh distribusi muatan listrik misalnya:

  • kumpulan titik-titik muatan
  • kawat panjang lurus berhingga dan tak-berhingga
  • lingkaran kawat
  • pelat lebar berhingga atau tak-berhingga
  • cakram tipis dan cincin
  • bentuk-bentuk lain

Kumpulan titik-titik muatan

Untuk titik-titik muatan yang tersebar dan berjumlah tidak terlalu banyak, medan listrik pada suatu titik (dan bukan pada salah satu titik muatan) dapat dihitung dengan menjumlahkan vektor medan listrik di titik tersebut akibat oleh masing-masing muatan. Dalam kasus ini lebih baik dituliskan


\vec{E}_i(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\ \frac{q_i} {\left|\vec{r} - \vec{r}_i\right|^3} \left(\vec{r} - \vec{r}_i \right)
yang dibaca, medan listrik di titik \vec{r} akibat adanya muatan \! q_i yang terletak di \vec{r}_i. Dengan demikian medan listrik di titik \vec{r} akibat seluruh muatan yang tersebar dituliskan sebagai
Electric field 4 point charges 1.png

\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i = 1}^{N} \vec{E}_i(\vec{r})
di mana \! N adalah jumlah titik muatan. Sebagai ilustrasi, misalnya ingin ditentukan besarnya medan listrik pada titik \!P yang merupakan perpotongan kedua diagonal suatu bujursangkar bersisi \!R, di mana terdapat oleh empat buat muatan titik yang terletak pada titik sudut-titik sudut bujursangkar tersebut. Untuk kasus ini misalkan bahwa q_1 = q_3 = +Q\! dan q_2 = q_4 = -Q\! dan ambil pusat koordinat di titik \!P (0,0) untuk memudahkan. Untuk kasus dua dimensi seperti ini, bisa dituliskan pula
\vec{E}_i(\vec{r}) = \vec{E}_i(x,y)
yang akan memberikan
\vec{E}_1(0,0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{Q}{ \left( \frac{R}{4}^2+\frac{R}{4}^2 \right)}\ \frac12\sqrt2(\hat i  - \hat j)
\vec{E}_2(0,0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{Q}{ \left( \frac{R}{4}^2+\frac{R}{4}^2 \right)}\ \frac12\sqrt2(\hat i  + \hat j)
\vec{E}_3(0,0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{Q}{ \left( \frac{R}{4}^2+\frac{R}{4}^2 \right)}\ \frac12\sqrt2(- \hat i  + \hat j)
\vec{E}_4(0,0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{Q}{ \left( \frac{R}{4}^2+\frac{R}{4}^2 \right)}\ \frac12\sqrt2(-\hat i  - \hat j)
sehingga

\vec{E}(0,0) = \sum_{i = 1}^{4} \vec{E}_i(0,0)

\vec{E}(0,0) = \vec{E}_1(0,0) + \vec{E}_2(0,0) + \vec{E}_3(0,0) + \vec{E}_4(0,0)

\vec{E}(0,0) = \vec{0}
yang menghasilkan bahwa medan listrik pada titik tersebut adalah nol.

Kawat panjang lurus

Kawat panjang lurus merupakan salah satu bentuk distribusi muatan yang menarik karena bila panjangnya diambil tak-hingga, perhitungan muatan di suatu jarak dari kawat dan terletak di tengah-tengah panjangnya, menjadi amat mudah.
Untuk suatu kawat yang merentang lurus pada sumbu x\!, pada jarak z\! di atasnya, dengan kawat merentang dari -a\! sampai b\! dari titik proyeksi P\! pada kawat, medan listrik di titik tersebut dapat dihitung besarnya, yaitu:
Line charge.png
E_z =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\lambda}{z} \ 
\left[
\frac{b}{\sqrt{z^2+b^2}}
+\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}
\right]
Seperti telah disebutkan di atas, apabila -a \rightarrow -\infty dan b \rightarrow \infty maka dengan menggunakan dalil L'Hospital diperoleh

E_z =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{2\lambda}{z} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0z}
Atau bila kawat diletakkan sejajar dengan sumbu-z dan bidang x-y ditembus kawat secara tegak lurus, maka medan listrik di suatu titik berjarak \!r dari kawat, dapat dituliskan medan listriknya adalah

\vec{E}(r) =
\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} \hat{\rho}
dengan \hat{\rho} adalah vektor satuan radial dalam koordinat silinder:

\hat{\rho} = \hat{i} \cos \phi + \hat{j} \sin \phi
di mana \phi\! adalah sudut yang dibentuk dengan sumbu-x positif.