Panjang Vektor

Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = . Panjang atau besar dari ruas garis berarah  dilambangkan dengan

Dari gambar di samping, didapat hubungan:

                        OR² = OA² + OB²

                  Û  OR² = x² + y²

                  Û  OR   =

Dengan demikian, panjang adalah:

||OR|| =

Jadi, besar atau panjang vektor r =  dapat ditentukan dengan rumus:

||r|| =

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan  mewakili vektor r, maka vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = .

Panjang atau besar ruas garis berarah  ditulis sebagai |||| atau OR.

Berdasarkan gambar di samping diperoleh hubungan:

OR² = OD² + DR² ...................... (1)

Sedangkan      OD² = OA² + OB²

                        OD² = x² + y²

            dan      DR² = z²

Substitusi OD² dan DR² ke persamaan (1) diperoleh

            OR² = x² + y² + z²     

Dengan demikian

|||| = OR =

Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus

            ||r|| =

Contoh:

Diketahui vektor-vektor a = , b =  dan c = . Hitunglah||2a - b + c|| 

Jawab:

2a – b + c = 2 -  +  =  ||2a - b + c|| =  = . Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| =  satuan panjang

pengurangan dan perkalian vektor

Pengurangan Vektor

Definisi:

Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh

u - v = u + (-v)                                   

                                 

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi:

Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0.

Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar

a.    ||m v|| = |m| ||v||

b.    m (-v) = -m v

c.    m v = v m

d.    (m +n) v = m v + n v

e.    m(u + v) = m u + m v

Penjumlahan Vektor

Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

1. Aturan Segitiga

Definisi:

Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.

2. Aturan Jajargenjang

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan jajargenjang (paralelogram).

Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor

a.   Komutatif : u + v = v + u

b.   Asosiatif :  (u + v) + w = u + (v + w)

c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku hubungan : 0 + v = v + 0 = v

d.   Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.

pengertian dan kesamaan vektor

Pengertian Vektor

Besaran Vektor dapat  disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.

 Kesamaan Vektor

Dua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b (perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar b. Misalnya  wakil dari vektor a dan  wakil dari vektor b, maka a = b (a sama dengan atau ekivalen b) sebab  dan  mempunyai arah dan panjang yang sama.

mengukur panjang dengan mistar

1.      Mengukur Panjang

a.      Mistar

Untuk mengukur besaran panjang biasanya digunakan mistar atau penggaris. Ada beberapa jenis mistar. Mistar yang skala terkecilnya 1 mm disebut mistar berskala mm, sedangkan mistar yang skala terkecilnya 1 cm disebut mistar berskala cm. Dalam kehidupan sehari-hari, kita biasanya menggunakan mistar berskala mm (Gambar 1.1). Satu skala terkecil mistar ini adalah 1 mm. Oleh karena itu, ketelitian mistar berskala mm adalah 1 mm atau 0,1 cm.

Gambar 1.1 Mistar berskala mm.

            Untuk membaca hasil pengukuran, posisi mata harus berada pada garis yang tegak lurus terhadap posisi skala alat ukur. Ketika mengukur panjang dengan menggunakan mistar, posisi mata harus terletak pada garis yang tegak lurus mistar (Gambar 1.2). Jika posisi mata berada di luar garis tersebut, maka panjang benda yang diukur akan terbaca lebih kecil atau lebih besar dari nilai yang sebenarnya. Akibatnya, pengukuran menjadi kurang teliti sehingga menimbulkan kesalahan pengukuran. Kesalahan semacam ini dikenal dengan istilah kesalahan paralaks. Pada Gambar 1.2, jika posisi mata berada di (a) panjang benda akan terbaca 12,6 cm, sedangkan apabila posisi mata di (c) panjang benda akan terbaca 12,8 cm.

Satuan dan Pengukuran

Fisika adalah ilmu pengetahuan yang didasarkan atas percobaan. Percobaan memerlukan pengukuran dan hasil pengukuran biasanya dinyatakan dengan angka atau bilangan. Misalnya, dalam suatu percobaan di laboratorium diperoleh hasil pengukuran panjang tali 5 meter, suhu air 25^oC, dan volume alkohol 3 ml. Dalam fisika, panjang, suhu, dan volume dikenal dengan istilah besaran. Jadi, besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan hasilnya selalu dapat dinyatakan dengan angka. Akan tetapi, keimanan, budi pekerti, kecantikan, dan kejujuran tidak termasuk besaran karena tidak dapat diukur serta tidak dapat dinyatakan dengan angka. Pada saat mengukur besaran, kita sebenarnya membandingkan antara besaran yang diukur dan besaran sejenis yang digunakan sebagai patokan. Jika kita memiliki seutas tali yang panjangnya 5 meter,  artinya tali tersebut panjangnya 5 kali panjang mistar yang berukuran 1 meter. Dalam hal ini,angka 5 menyatakan nilai dari besaran panjang, sedangkan meter menyatakan satuan dari besaran panjang. Untuk memahami perbedaan antara besaran, nilai besaran, dan satuan, perhatikan Tabel 1.1.

Tabel 1.1 Perbedaan antara Besaran, Nilai Besaran, dan Satuan

No	Pernyataan	Besaran	Nilai Besaran	Satuan
1	suhu air 25oC	suhu	25	oC
2	volume alkohol 3 ml	volume	3	ml
3	massa jenis minyak 0,8 g/cm3	massa jenis	0,8	g/cm3

Pengukuran besaran fisika dapat dinyatakan dengan satuan baku maupun satuan tidak baku. Satuan baku adalah satuan yang telah diakui secara internasional, misalnya meter, kilogram, dan sekon. Satuan tidak baku adalah satuan yang tidak diakui secara internasional. Beberapa daerah di Indonesia sering menggunakan satuan tidak baku, misalnya satuan panjang digunakan depa, hasta, jengkal. Satuan-satuan ini jelas tidak dapat digunakan secara internasional, sebab ukuran satu depa setiap orang berbeda-beda.

Sekarang kita akan mempelajari beberapa alat yang digunakan untuk mengukur besaran panjang, massa, waktu, dan suhu.

	Berfikir Kritis Apakah semua besaran fisika selalu memiliki satuan?

 

Apa yang membuat benda bergerak ?

Apa yang membuat benda bergerak ?

           Aristotle  (384-322 B.C) :

           gaya, tarik atau dorong, diperlukan untuk menjaga sesuatu bergerak.

           Galileo Galilei   (awal 1600-an) :

          benda bergerak mempunyai “kuantitas gerak” secara intrinsik.

           Issac Newton  (1665 - 1666) :

          Hukum Newton mengandung 3 konsep : massa,  gaya,  momentum

          massa           : mengukur kuantitas bahan dari suatu benda.

         gaya                : tarikan atau dorongan.

         momentum     : kuantitas gerak

         

“Kuantitas gerak” atau momentum diukur dari perkalian massa benda dengan kecepatannya :

                             p = m v

Hukum I          : Benda yang bergerak cenderung untuk  tetap bergerak,  atau  tetap diam jika diam.

Hukum II         : Laju perubahan momentum suatu benda sama dengan gaya total yang bekerja pada benda tersebut.

                           F = dp/dt    

                          bila massa m konstan,

                           F = d(mv)/dt

                                 m dv/dt

                          karena dv/dt = a (percepatan), maka

                                     F = ma

Hukum III        : Untuk setiap aksi selalu terdapat rekasi yang sama besar dan berlawanan.